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炭素に結合する水素の角度を計算する

 以下の記述はどこかに書いてある事かも知れませんけれど、私は結論しか見たことがありませんでした。ですから、これを考える事ができたというのがうれしいので、公開します。

メタンの動く分子事典  メタンの分子は左の絵のようになっていて、中心の炭素原子の回りに均等に4つの水素原子が結合しています。そして、その角度は109.5度であると記載されています。しかし、どうして109.5度なのか私にはわかっていませんでした。

メタンに結合した水素の位置を正四面体の頂点として考える図  炭素の「球」に結合していると考えるのではなく、左のような正四面体の頂点に水素があると考えると、中心eでの角度(∠aedなど)を求める事が可能だと気づきました。ここでは、頂点dからaを通るようにきれいに半分に切った時の断面を考えます。この断面を図では灰色で表現しました。

正四面体の底辺で考える  断面の辺afやdfの長さを考えるために描いたのが左の図です。正三角形のabcを半分に切ったのですから、∠afbは直角です。また、∠abfは正三角形の一つの角なので60度です。よって、辺の比は1:2:√3となります。ですから、辺abを2とするならば、辺afは√3と言えます。
 同様の事は正三角形bcdでも言えますから、dfも√3です。

メタン動く分子事典  辺の長さがわかったので、断面の三角形であるadfについて、以下に詳しく考えてみます。


下の図は、断面の三角形を正面から描いたものです。

断面の三角形で考える図  まず、もとめたい角度は∠aedです。これは、二つの頂点(a・d)にある水素と中心にある炭素eが作る角度を意味しています。

 頂点dから中心点eを通って直線afと交差する直線は、頂点dから底の三角形であるabcへおろした垂線です。ですから、∠dgfは直角です。同様の事は他の頂点から中心点eを通った直線でもいえます。
 三角形afdは図のように二等辺三角形ですから、∠efdと∠efaは同じ大きさです。これを、αとしておきます。
 次に、三角形dfgは直角三角形ですから、2α+β=90度です。
 さらに、三角形fedの辺feを伸ばした場合を考えると、平行線の補助線から、∠deh=α+βです。よって、もとめたい角度である∠aedは、2(α+β)となります。
 さて、sinαを考えてみます。これは、三角形dfhで考えると、1/√3です。これは、電卓で計算すると、0.577350269です。これを三角関数表にあてはめてみますと、34度=0.5592、35度=0.5736、36度=0.5878ですから、ほぼα=35度だといえます。
 これを2α+β=90度に代入して、β=20度であることになります。
 もとめたい角度∠aedは2(α+β)なのですから、これに代入して、110度がでます。
 これは109.5度とほとんど同じです。三角関数表の精度が高いものを使えばよさそうだなあと思えました。

 これで、109.5度は納得できましたけれど、資料に出てくる原子同士の結合の角度をどう理解したらいいのかが、まだよくわかっていません。三次元に頭がついていかないのです。

以上の計算は同僚の吉田弘先生の協力の元、実行する事ができました。
2001.02.01
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